Question

如圖1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，點P從A出發(fā)沿線段AB運動，過點P作PF∥BC，交線段AC于點F．
（1）點P在運動的過程中，△APF的形狀

不變

（填“改變”或“不變”）．如果改變，請指出所有可能出現(xiàn)的形狀；如果不變，請指出它是什么三角形．答：

等腰直角三角形

．
（2）如圖2以頂點B為坐標原點，線段AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，點P從A出發(fā)的同時，點Q從C出發(fā)沿BC的延長線運動，它們的運動速度相同，連線PQ與邊AC交于點D．試解決以下兩個問題：
①當AP為何值時，S_△PCQ=

1

4

S_△ABC；
②作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠A=∠C=45°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠AFP=∠C=45°，從而判斷出△APF是等腰直角三角形；
（2）①設(shè)AP=CQ=x，表示出PB，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
②過Q作QF⊥AC交AC延長線于F，利用“角角邊”證明△QCF和△PAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF，EP=QF，從而得出AC=EF，再利用“角角邊”證明△EPD和△FQD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得解．

解答：（1）解：∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠C=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
故答案為：不變，等腰直角三角形；

（2）①解：設(shè)AP=CQ=x，則BP=2-x，
∵S_△PCQ=

1

4

S_△ABC，
∴

1

2

x（2-x）=

1

4

×（

1

2

×2×2），
整理得，x²-2x+1=0，
解得x=1，
∴AP=1；

②答：DE的長度不改變，是個定值．
證明：如圖，過Q作QF⊥AC交AC延長線于F，
則∠QCF=∠ACB=∠A=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠F=90°，
∵點P、Q的速度相等，
∴AP=CQ，
在△QCF和△PAE中，

∠QCF=∠A ∠AEP=∠F=90° AP=CQ

，
∴△QCF≌△PAE（AAS），
∴AE=CF，EP=QF，
∴AC=AE+EC=CF+EC=EF，
在△EPD和△FQD中，

∠AEP=∠F=90° ∠QDF=∠PDE EP=QF

，
∴△EPD≌△FQD（AAS），
∴DE=DF，
∴DE=

1

2

EF=

1

2

AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=

AB2+BC2

=

22+22

=2

2

，
∴DE=

1

2

×2

2

=

2

是定值．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，難點在于（2）②作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等．