Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣8ax（a＜0）的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P．點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，直線AC與該圖象的另一交點(diǎn)為B，與過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，且CB：AB=1：7．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）連接BP，若△BDP與△AOC相似（點(diǎn)O為原點(diǎn)），求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣8ax=a（x﹣4）2﹣16a，

∴P（4，﹣16a），

當(dāng)ax2﹣8ax=0，

解得：x1=0，x2=8，

∴A（8，0），

∵CB：AB=1：7，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，

∴B（1，﹣7a），

∴C（0，﹣8a）

（2）解：∵△AOC為直角三角形，

∴只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF⊥PD于點(diǎn)F，

可得，BF=3，AH=4，DH=﹣4a，則FD=﹣3a，

∴PF=﹣9a，

由相似，可知：BF2=DFPF，

則9=﹣9a（﹣3a），

解得：a= ，a=﹣ （舍去）．

故拋物線解析式為：y=﹣ x2﹣ x．

【解析】（1）解析式可配成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)P（4，﹣16a），令y=0,求出A（8，0），由已知CB：AB=1：7，可求出C（0，﹣8a）；（2）由已知△BDP與△AOC相似，△AOC為直角三角形，可分析出只可能∠PBD=90°，對(duì)應(yīng)邊成比例可得BF2=DFPF，進(jìn)而求出a.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．