【題目】已知如圖點(diǎn)C在∠MON的一邊OM上,過(guò)點(diǎn)C的直線ABON,CD平分∠ACM,CECD

(1)若∠O=50°,求∠BCD的度數(shù);

(2)求證:CE平分∠OCA;

(3)當(dāng)∠O為多少度時(shí),CA分∠OCD1:2兩部分,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)115°;(2)證明見(jiàn)解析;(3)結(jié)論:當(dāng)∠O=36°或90°時(shí),CA分∠OCD1:2兩部分.

【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠O=MCB,由平角定義可得∠ACM=130°,再利用角平分線的定義可求∠DCM=65°,從而可求出BCD的度數(shù)

(2)利用等角的余角相等證明∠ACE=ECO即可;

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論可知∠BOC=∠BOM=∠DOM,從而得出結(jié)論.

解:(1)ABON,

∴∠O=MCB(兩直線平行,同位角相等).

∵∠O=50°,

∴∠MCB=50°.

∵∠ACM+∠MCB=180°(平角定義),

∴∠ACM=180°-50°=130°.

又∵CD平分∠ACM,

∴∠DCM=65°(角平分線定義),

∴∠BCD=DCM+∠MCB=65°50°=115°

(2)CECD,

∴∠DCE=90°,

∴∠ACE+∠DCA=90°..

又∵∠MCO=180°(平角定義),

∴∠ECO+∠DCM=90°,

∵∠DCA =DCM,

∴∠ACE=ECO(等角的余角相等),

CE平分∠OCA;

(3)①當(dāng)∠OCA: ∠ACD=1:2時(shí),

設(shè)∠OCD=x°, ∠ACD=2x°,由題意得

x+2x+2x=180,

∴x=36,

∴∠O=∠OCA=x=36°;

當(dāng)∠ACD:∠OCA =12時(shí),

設(shè)∠ACD =x°, ∠OCA =2x°,由題意得

x+x+2x=180,

∴x=45,

∴∠O=∠OCA=2x=2×45°=90°;

∴當(dāng)∠O=36°或90°時(shí),CA分∠OCD12兩部分.

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小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是 ;

(2)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;

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