Question

【題目】已知如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為梯形，BC∥AO，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，0）．一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)也隨之停止．設(shè)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PB與AQ互相平分；

（3）連接PQ，設(shè)△PAQ的面積為S，探索S與t的函數(shù)關(guān)系式．求t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=3；（3）當(dāng)t=2時(shí)，S△PAQ有最大值為．

【解析】

（1）設(shè)出拋物線的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的解析式．

（2）根據(jù)PB與AQ互相平分可以得出四邊形BQPA是平行四邊形，得出QB=PA建立等量關(guān)系可以求出t值．

（3）是一道分段函數(shù)，分為Q點(diǎn)在AB上和在BC上根據(jù)三角形的面積公式表示出S于t的關(guān)系式就可以求出其答案．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），代入A、B、C三點(diǎn)，得

解得：

∴．

（2）∵使得PB與AQ互相平分，

∴四邊形BQPA是平行四邊形，

∴BQ=PA，

∵AB==5，

∴2t-5=4-t，

解得：t=3．

（3）由已知得AB=5，CB=1．

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)P（xP，0），Q（xQ，yQ），∠OAB=θ，sinθ=，

∴，

∵，

∴，

∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PAQ有最大值為．

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則

∴當(dāng)時(shí)，S△PAQ有最大值為3．

∴綜上所述，當(dāng)t=2時(shí)，S△PAQ有最大值為．