Question

10．如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為8，⊙O的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA恰好與⊙O相切于點A（△EFA與⊙O除切點外無重疊部分），延長FA交CD邊于點G，則AG的長是$\frac{\sqrt{865}}{3}$．

Answer 1

分析 作FS⊥CD于點S，根據(jù)折疊得出FA=FA′，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AF=SD，AD=FS；設(shè)AF=x，則A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，F(xiàn)O=FA′+OA′=2+x，F(xiàn)G=2（2+x）；根據(jù)勾股定理得出方程[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，求出x，再根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 解：如圖，作FS⊥CD于點S，則AF=CG，

∵△AFE≌△A′FE，
∴FA=FA′，
∵四邊形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS；
設(shè)AF=x，則A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，F(xiàn)O=FA′+OA′=2+x，F(xiàn)G=2（2+x）；
∵FG²=GS²+FS²，
∴[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，
解得x=$\frac{7}{3}$，
∴AF=CG=$\frac{7}{3}$，
DG=8-$\frac{7}{3}$=$\frac{17}{3}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{D}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+（\frac{17}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{865}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{865}}{3}$．

點評 本題考查了正方形是中心對稱圖形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：圓的切線垂直于過切點的半徑．