【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△OAB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(0,5),B(3,1),過點(diǎn)B畫BC⊥AB交直線y=﹣m(m> )于點(diǎn)C,連結(jié)AC,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D,連結(jié)AD、CD.

(1)求證:△ABC≌△AOD;
(2)設(shè)△ACD的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若四邊形ABCD恰有一組對邊平行,求m的值.

【答案】
(1)解:證明:∵A(0,5),B(3,1),

∴AB= =5,

∴AB=OA,

∵AB⊥BC,

∴∠ABC=90°,

在Rt△ABC和Rt△AOD中,

,

∴Rt△ABC≌Rt△AOD


(2)解:解:過點(diǎn)B作直線BE⊥直線y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如圖,

∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,

∴∠2=∠3,

∴Rt△ABF∽Rt△BCE,

,即 ,

∴BC= (m+1),

在Rt△ACB中,AC2=AB2+BC2=25+ (m+1)2,

∵△ABC≌△AOD,

∴∠BAC=∠OAD,即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5,

∴∠4=∠5,

而AO=AB,AD=AC,

∴△AOB∽△ACD,

=

而S△AOB= ×5×3= ,

∴S= (m+1)2+ (m>


(3)解:作BH⊥y軸于H,如圖,

當(dāng)AB∥CD時(shí),則∠ACD=∠CAB,

而△AOB∽△ACD,

∴∠ACD=∠AOB,

∴∠CAB=∠AOB,

而tan∠AOB= =3,tan∠ACB= = = ,

=3,解得m=8;

當(dāng)AD∥BC,則∠5=∠ACB,

而△AOB∽△ACD,

∴∠4=∠5,

∴∠ACB=∠4,

而tan∠4= ,tan∠ACB= ,

=

解得m=3.

綜上所述,m的值為3或8


【解析】(1)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)勾股定理求出AB的值,根據(jù)HL得到Rt△ABC≌Rt△AOD;(2)根據(jù)題意得到Rt△ABF∽Rt△BCE,得到比例,求出BC的值,得到△AOB∽△ACD,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方,求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式;(3)由△AOB∽△ACD,得到比例,再根據(jù)三角函數(shù)值求出m的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方,以及對銳角三角函數(shù)的定義的理解,了解銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限交于點(diǎn)A(4,3),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點(diǎn)M,使得MB=MC,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】如圖,CD為公共邊的三角形是____________;∠EFB____________的內(nèi)角;△BCE,BE所對的角是____________,∠CBE所對的邊是____________;∠A為公共角的三角形是____________.

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【題目】在△ABC中,ABAC,∠BAC=90°,點(diǎn)DAC上一動點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)E、點(diǎn)F均是射線BD上的點(diǎn)并且滿足AEAF,∠EAF=90°.求證:△ABE≌△ACF

(2)在(1)的條件下,求證:CFBD;

(3)由(1)我們知道∠AFB=45°,如圖2,當(dāng)點(diǎn)D的位置發(fā)生變化時(shí),過點(diǎn)CCFBDF,連接AF.那么∠AFB的度數(shù)是否發(fā)生變化?請證明你的結(jié)論.

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【題目】中考前的模擬考試對于學(xué)生來說具有重大的指導(dǎo)意義,現(xiàn)抽取m名學(xué)生的數(shù)學(xué)一模成績進(jìn)行整理分組,形成如下表格(x代表成績,規(guī)定x>140為優(yōu)秀),并繪制出扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖(橫坐標(biāo)表示成績,單位:分).

A組

140<x≤150

B組

130<x≤140

C組

120<x≤130

D組

110<x≤120

E組

100<x≤110


(1)m的值為;扇形統(tǒng)計(jì)圖中D組對應(yīng)的圓心角是°.
(2)若要從成績優(yōu)秀的學(xué)生甲、乙、丙、丁中,隨機(jī)選出2人介紹經(jīng)驗(yàn),求甲、乙兩人中至少有1人被選中的概率(通過畫樹狀圖或列表法進(jìn)行分析).

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【題目】如圖,長方形ABCD在坐標(biāo)平面內(nèi),點(diǎn)A的坐標(biāo)是A(,1),且邊AB,CDx軸平行,邊AD,BCy軸平行,AB4,AD2.

(1)B,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)怎樣平移,才能使A點(diǎn)與原點(diǎn)O重合?

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【題目】環(huán)保健康的“共享單車”已成為人們短途出行的一種新方式,一輛新投放市場的單車其先期成本為1050元.如圖是一輛新投放的共享單車其運(yùn)營收入w1和運(yùn)營支出w2關(guān)于時(shí)間m的函數(shù)圖象.
注:一輛單車的盈利=運(yùn)營收入﹣運(yùn)營支出﹣先期成本
(1)分別求w1及運(yùn)營60天后w2關(guān)于時(shí)間m的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求一輛新投放市場的單車恰好收回先期成本需要運(yùn)營多少天?
(3)某公司投放市場一批單車,其先期成本不少于2.1萬元但不超過10.5萬元,經(jīng)過一段時(shí)間的市場試運(yùn)營共盈利3550元,則該公司試運(yùn)營的天數(shù)為天(直接寫出答案).

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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出四個結(jié)論:①b2 > 4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a < b.其中正確結(jié)論有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠AOB=120°,OC是∠AOB內(nèi)部任意一條射線,OD,OE分別是∠AOC,∠BOC的角平分線,下列敘述正確的是(

A. AOD+BOE=60°B. AOD=EOC

C. BOE=2CODD. DOE的度數(shù)不能確定

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