Question

9．如圖，點A、B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，點C（2，-2），CA、CB分別交坐標軸于D、E，CA⊥AB，且CA=AB．
（1）求點B的坐標；
（2）如圖2，連接DE，求證：BD-AE=DE；
（3）如圖3，若點F為（4，0），點P在第一象限內，連接PF，過P作PM⊥PF交y軸于點M，在PM上截取PN=PF，連接PO、BN，過P作∠OPG=45°交BN于點G，求證：點G是BN的中點．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥x軸于M，求出CM=CN=2，證△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）在BD上截取BF=AE，連AF，證△BAF≌△CAE，證△AFD≌△CED，即可得出答案．
（3）作EO⊥OP交PG的延長線于E，連接EB、EN、PB，只要證明四邊形ENPB是平行四邊形就可以了．

解答 解：（1）作CM⊥x軸于M，
∵C（2，-2），
∴CM=2，OM=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACM}\\{∠AOB=∠CMA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．

（2）證明：在BD上截取BF=AE，連AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠CAE}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
由（1）可知OA=OM，OD∥CM，
∴AD=DC，（圖1中），
在△AFD和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠FAD=∠ECD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE；
（3）如圖3，作EO⊥OP交PG的延長線于E，連接EB、EN、PB，
∵∠EOP=90°，∠EPO=45°，
∴∠OEP=∠EPO=45°，
∴EO=PO，
∵∠EOP=∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠POF，
在△EOB和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=OF}\\{∠EOB=∠POF}\\{OE=OP}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△POF，
∴EB=PF=PN，∠1=∠OFP，
∵∠2+∠PMO=180°，
∵∠MOF=∠MPF=90°，
∴∠OMP+∠OFP=180°，
∴∠2=∠OFP=∠1，
∴EB∥PN，
∵EB=PN，
∴四邊形ENPB是平行四邊形，
∴BG=GN，
即點G是BN中點．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質以及等角的余角相等，第三個問通過輔助線構造平行四邊形是解決問題的關鍵．