Question

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，如圖，則下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)，大家一起熱烈地討論交流，小英第一個(gè)得出正確答案，是(     )

（1）AE平分∠DAB；

（2）△EBA≌△DCE；

（3）AB+CD=AD；

（4）AE⊥DE；

（5）AB∥CD．

A．1個(gè)  B．2個(gè)   C．3個(gè)  D．4個(gè)

Answer 1

 D

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．

【分析】此題可以通過(guò)作輔助線來(lái)得解，取AD的中點(diǎn)F，連接EF．根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得（1）（4）（5），根據(jù)梯形中位線定理可證得（3）正確．根據(jù)全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

【解答】解：如圖：取AD的中點(diǎn)F，連接EF．

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD；[結(jié)論（5）]

∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，

∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；

∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，

∴DF=EF；

∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF=AF，

∴AF=DF=EF②，

由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結(jié)論（3）]

由②得∠FAE=∠FEA，

由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，

∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結(jié)論（1）]

由結(jié)論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結(jié)論（4）]．

由以上結(jié)論及三角形全等的判定方法，無(wú)法證明△EBA≌△DCE．

正確的結(jié)論有4個(gè)，故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、梯形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，是一道難度較大的綜合題型．