Question

矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．

（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連接BP．動點M在線段AP上（不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，說明理由．

　

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）①先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；

②根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x²=（8﹣x）²+4²，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長；

（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，

再求出EF=PB，由（1）中的結(jié)論求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變．

【解答】解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴===，

∴CP=AD=4，

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x²=（8﹣x）²+4²，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊AB的長為10；

（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB==4，

∴EF=PB=2，

∴在（1）的條件下，當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2．

【點評】此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形．