Question

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標(biāo)（點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)）

Answer 1

解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
∴，
解得：，
故拋物線的解析式為：y=x²-3x；

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點B（4，4）得
4=4 k₁，
解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點B向下平移m個單位長度的點B′的坐標(biāo)為（4，0），
故m=4．
∴平移m個單位長度的直線為y=x-4．
解方程組
解得：，
∴點D的坐標(biāo)為（2，-2）．

（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．
∵點A關(guān)于直線OB的對稱點A′的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=．
∴直線A′B的解析式為y=x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上，
設(shè)點N（n，n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴n+3=n²-3n．
解得 n₁=，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點N的坐標(biāo)為（-，）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則 N₁ （-，-），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點．
∴==，
∴點P₁的坐標(biāo)為（-，-）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標(biāo)為：（，）．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-，-）和（，）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進(jìn)而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進(jìn)而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進(jìn)而求出點P₁的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點的坐標(biāo)．
點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)點關(guān)系是解題關(guān)鍵．