Question

等腰三角形一底角平分線將周長分成168與112兩部分，則該三角形腰長為（　　）

• A、80
• B、105或80
• C、105
• D、非上述答案

Answer 1

考點：等腰三角形的性質,三角形三邊關系

專題：分類討論

分析：過E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，過A作AD⊥BC于D，由三角形面積 S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE，可得

1

2

BC•AD=

1

2

AB•EG+

1

2

BC•EF=

1

2

（AB+BC）•EF，再根據(jù)平行線分線段成比例可得EF：AD=EC：AC，從而得到等腰三角形的腰長．

解答：解：如圖，等腰三角形，已知周長為L=168+112=280．
設腰長為x，則AB=AC=x，BC=280-2x．
角平分線BE交AC于E，過E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，易知有EF=EG．
過A作AD⊥BC于D，易知AD垂直平分∠BAC，且EF∥AD．
由三角形面積公式，可得S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE，
即

1

2

BC•AD=

1

2

AB•EG+

1

2

BC•EF=

1

2

（AB+BC）•EF，
∴EF：AD=BC：（AB+BC），
又∵EF∥AD，
∴EF：AD=EC：AC，
∴EC=

AC•BC

AB+BC

=

x(280-2x)

280-2x+x

=

x(280-2x)

280-x

，
令y=BC+EC，則EC=y-BC=y-（280-2x）=

x(280-2x)

280-x

，
整理，可得x=

280(280-y)

280+280-y

，
對等腰三角形，若y=112，則280-y=168，代入解得x=105；
若y=168，則280-y=112，代入解得x=80．
故等腰三角形的腰長為105或80．
故選B．

點評：考查了等腰三角形的性質，利用三角形面積得到三角形三邊關系，同時考查了平行線分線段成比例的性質．