Question

【題目】已知兩個(gè)二次函數(shù)y1=x2+bx+c和y2=x2+m．對(duì)于函數(shù)y1 ， 當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)取最小值．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，求這兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離；
（3）若函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），過點(diǎn)（0，a﹣3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3、x4 ， 且x1＜x2＜x3＜x4 ， 求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知：函數(shù)y1的對(duì)稱軸為x=2，

∴﹣ =2，

∴b=﹣4

（2）

解：由題意知：△=b2﹣4c=16﹣4c，

當(dāng)△＞0時(shí)，

∴c＜4，

此時(shí)函數(shù)y1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

由于若函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，

∴c=0，

∴y1=x2﹣4x，

令y1=0，

∴x=0或x=4，

∴兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離為4，

當(dāng)△=0時(shí)，

∴c=4，

此時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離，由勾股定理可求得： =2

（3）

解：∵函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），

∴將（1，﹣2）代入函數(shù)y1和函數(shù)y2，

∴﹣2=1﹣4+c，

﹣2=1+m，

∴c=1，m=﹣3，

∴函數(shù)y1=x2﹣4x+1，函數(shù)y2=x2﹣3，

聯(lián)立

解得：x=1，y=﹣2，

∵過點(diǎn)（0，a﹣3）作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2

當(dāng)﹣3＜a﹣3＜﹣2時(shí)，如圖1，

即0＜a＜1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x3=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x2= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4 ，

∵0＜a＜1，

∴0＜4 ＜4，

當(dāng)a﹣3＞﹣2，如圖2，

即a＞1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x2=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x3= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，

綜上所述，過點(diǎn)（0，a﹣3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值為4．

【解析】（1）由于題意知x=2時(shí)，該函數(shù)取得最小值，所以x=2時(shí)該函數(shù)y1的對(duì)稱軸；（2）若函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，則分為兩種情況討論，一種是拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，另一種是拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，然后分別求出C的值即可；（3）函數(shù)y1與y2經(jīng)過（1，﹣2），所以可求出c與m的值，根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象可知，若過點(diǎn)（0，a﹣3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a)．