Question

如圖，點A（0，4），點B（3，0），點P為線段AB上的一個動點，作PM⊥y軸于點M，作PN⊥x軸于點N，連接MN，當(dāng)點P運動到什么位置時，MN的值最��？最小值是多少？求出此時PN的長．

Answer 1

解：如圖，連接OP．
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．
∴四邊形ONPM是矩形．
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，當(dāng)OP⊥AB時OP最短，即MN最�。�
∵A（0，4），B（3，0），即AO=4，BO=3，
根據(jù)勾股定理可得AB=5．
∵S_△AOB=AO•BO=AB•OP，
∴OP=．
∴MN=．
即當(dāng)點P運動到使OP⊥AB于點P時，MN最小，最小值為；
在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理可得：BP=，
∵S_△OBP=OP•BP=OB•PN．
∴PN=．
分析：首先連接OP，易得四邊形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，當(dāng)OP⊥AB時OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理與三角形的面積的求解，可求得MN的長；
又由在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理可得：BP=，與S_△OBP=OP•BP=OB•PN，繼而求得PN的長．
點評：此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理與三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．