Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．
【小題1】求過(guò)三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；v
【小題2】在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)
坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；v
【小題3】試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，若存在，求
出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【小題1】拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn)
【小題2】見解析。
【小題3】見解析。解析:
解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
， ， ……………………（2分）
點(diǎn)都在拋物線上，
  ……………………（4分）
拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn) …………（6分）
（2）存在， 。……………………（8分）
（3）存在……………………（9分）
理由：解法一：

延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
點(diǎn)在拋物線上，
在中，，
，， 在中，，
，， ……………………（12分）
設(shè)直線的解析式為
  解得  ………………（13分）
  解得 
在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)． …14分

解法二：
過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．
，

同方法一可求得．
在中，，，可求得，
為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，
垂直平分．
即點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．……………………（12分）
設(shè)直線的解析式為，由題意得
  解得     ……………………（13分）
  解得 
在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．