Question

3．如圖，直線y=-2x+7與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、B，與直線y=$\frac{3}{2}$x相交于點(diǎn)A．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果在y軸上存在一點(diǎn)P，使△OAP是以O(shè)A為底邊的等腰三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）在直線y=-2x+7上是否存在點(diǎn)Q，使△OAQ的面積等于6？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程，解方程即可求得；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分兩種情況：①當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，則QD=x，根據(jù)S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ列出關(guān)于x的方程解方程求得即可；②當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，則QD=-y，根據(jù)S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC列出關(guān)于y的方程解方程求得即可．

解答 解：（1）解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y），
∵△OAP是以O(shè)A為底邊的等腰三角形，
∴OP=PA，
∴2²+（3-y）²=y²，
解得y=$\frac{13}{6}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，$\frac{13}{6}$），
故答案為（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）存在；
由直線y=-2x+7可知B（0，7），C（$\frac{7}{2}$，0），
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×3=$\frac{21}{4}$＜6，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×7×2=7＞6，
∴Q點(diǎn)有兩個(gè)位置：Q在線段AB上和AC的延長(zhǎng)線上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，y），
當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖①，則QD=x，
∴S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ=7-6=1，
∴$\frac{1}{2}$OB•QD=1，即$\frac{1}{2}$×7x=1，
∴x=$\frac{2}{7}$，
把x=$\frac{2}{7}$代入y=-2x+7，得y=$\frac{45}{7}$，
∴Q的坐標(biāo)是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$），
當(dāng)Q點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作QD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖②則QD=-y，
∴S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•QD=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×（-y）=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{7}$，
把y=-$\frac{3}{7}$代入y=-2x+7，解得x=$\frac{26}{7}$，
∴Q的坐標(biāo)是（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$），
綜上所述：點(diǎn)Q是坐標(biāo)是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$）或（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了交點(diǎn)的求法，勾股定理的應(yīng)用，三角形面積的求法等，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．