Question

如圖，拋物線與x軸交于點B（-2，0）、C（4，0），與y軸正半軸交于點A，且tan∠ABC=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）?DEFG的一邊DG在線段BC上，另兩個頂點E、F分別在線段AC和線段AB上，且∠EFG=∠ABC，若點D的坐標為（m，0），?DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）點N在線段BC上 運動，連接AN，將△ANC沿直線AC翻折得到△AN′C，AN′與拋物線的另一個交點為M，若點M恰好將線段AN′分成 1：3兩部分，求點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）通過解直角三角形求得A的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)A、B、C的坐標求得直線AB、直線AC的解析式，根據(jù)解直角三角形求得E、F的坐標，然后求得EF的長，即可求得平行四邊形DEFG的面積的解析式，進而求得最大值．
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，求得直線NN′的解析式，然后通過拋物線的解析式和NN′的解析式求得交點M的坐標，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)系式，解這個方程即可求得．

解答：解：（1）∵B（-2，0），
∴OA=2，
∵tan∠ABC=2，
∴OA=4，
∴A（0，4），
∴拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），
∴4=a（0+2）（0-4），解得：a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+2）（x-4），
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）如圖1，過E點作EH⊥BC于H，∵四邊形DEFG是平行四邊形，∠EFG=∠ABC，
∴∠EDH=∠EFG=∠ABC，
∴tan∠EDH=tan∠ABC=2，
∴

EH

DH

=2，
∴EH=2DH，
∵A（0，4），C（4，0），
∴OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∴tan∠ACO=

DH

HC

=1，
∴EH=DH+CD，
∵EH=2DH，
∴DH=CD，
∵D（m，0），
∴CD=DH=4-m，
∴OH=m-（4-m）=2m-4，
∴EH=2（4-m）=8-2m，
∴E（2m-4，8-2m），
∵直線AB的解析式為y=2x+4，
∴F（2-m，8-2m），EF=（2m-4）-（2-m）=3m-6，
∴S=（3m-6）（8-2m）=-6m²+36m-48，=-6（m-3）²+6，
∴S的最大值是6．

（2）如圖2，．設(shè)N（n，0），∵A（0，4），C（4，0），
∴N′（4，4-m），
①當M是AN'上左側(cè)的四等分點時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得M點的橫坐標為1，
∵點M在拋物線上，將x=1代入拋物線的解析式，得y=4.5，
∴M（1，4.5），
∵A（0，4），
∴直線AN'的解析式為y=0.5x+4，
將點N'（4，4-n）代入y=0.5x+4，得n=-2，
∴N（-2，0）；
②．當M是AN'上右側(cè)的四等分點時，同理可求n=2，N（2，0）．
綜上所述，點N的坐標是（-2，0）、（2，0）．

點評：本題考查了直角三角函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等；根據(jù)平行線分相等定理列出方程是本題的關(guān)鍵．