Question

25、定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．
（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)心．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）

Answer 1

分析：（1）只要證得PJ=PH，PG=PI，即可得出結(jié)論；通過證明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，可得出交點(diǎn)既是準(zhǔn)內(nèi)心；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和梯形中位線的性質(zhì)定理，可得梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)即為準(zhǔn)內(nèi)心；

解答：（1）證明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可證△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心；

（2）平行四邊形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（1）；
或者取平行四邊形兩對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)P₂就是準(zhǔn)內(nèi)心．如圖4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的準(zhǔn)內(nèi)心，用到的知識(shí)點(diǎn)是角平分線、中位線的性質(zhì)定理；可通過證明三角形全等來證得結(jié)論．