Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2過(guò)點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)B（﹣3，﹣4），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE、BE，點(diǎn)P是折線EB﹣BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，連接EP，若EP⊥BC，請(qǐng)直接寫出線段BP與線段AE的關(guān)系；

②過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與過(guò)點(diǎn)C作的y軸的垂線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，如果點(diǎn)M′恰好在坐標(biāo)軸上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①線段BP與線段AE的關(guān)系是相互垂直；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．

【解析】

（1）將A（5，0）和點(diǎn)B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；

（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線方程y=kx+b即可求解；

（3）①AE直線的斜率kAE=2，而直線BC斜率的kAE=2即可求解；

②考慮當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上時(shí)和在線段BE上時(shí)兩種情況，利用PM′=PM即可求解．

（1）將A（5，0）和點(diǎn)B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，

解得：a=﹣，b=，

故函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+2；

（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線方程y=kx+b，

解得：k=2，b=2，

故：直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2，

（3）①E是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，E坐標(biāo)為（3，﹣4），

則AE直線的斜率kAE=2，而直線BC斜率的kAE=2，

∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE

而BP=AE，∴線段BP與線段AE的關(guān)系是相互垂直；

②設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上時(shí)，

P坐標(biāo)為（m，2m+2），M坐標(biāo)為（m，2），則PM=2m，

直線MM′⊥BC，∴kMM′=﹣，

直線MM′的方程為：y=﹣x+（2+m），

則M′坐標(biāo)為（0，2+m）或（4+m，0），

由題意得：PM′=PM=2m，

PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，

或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，

解得：m=﹣4±2，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4±2，﹣8±4）；

當(dāng)P點(diǎn)在線段BE上時(shí)，

點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣4），點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，2），

則PM=6，

直線MM′的方程不變，為y=﹣x+（2+m），

則M′坐標(biāo)為（0，2+m）或（4+m，0），

PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，

解得：m=0，或﹣；

或PM′2=42+42=（6）2，無(wú)解；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；

綜上所述：

點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．