Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是AB邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)（，）與OA邊交于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FC⊥x軸于點(diǎn)C，連接EF，OF．

（1）若，求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在（1）的條件下，試判斷以點(diǎn)E為圓心，EA長為半徑的圓與軸的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）AB邊上是否存在點(diǎn)F，使得EF⊥AE？若存在，請求出BF：FA的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（）；（2）相離；（3）存在，1：4．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)F（x，y），得到OC=x與CF=y，表示出三角形OCF的面積，求出xy的值，即為k的值，進(jìn)而確定出反比例解析式；

（2）過E作EH垂直于x軸，EG垂直于y軸，設(shè)OH為m，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出EH與OE，進(jìn)而表示出E的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出m的值，確定出EG，OE，EH的長，根據(jù)EA與EG的大小關(guān)系即可對于圓E與y軸的位置關(guān)系作出判斷；

（3）過E作EH垂直于x軸，設(shè)FB=x，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出FC與BC，進(jìn)而表示出AF與OC，表示出AE與OE的長，得出OE與EH的長，表示出E與F坐標(biāo)，根據(jù)E與F都在反比例圖象上，得到橫縱坐標(biāo)乘積相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF與FA的比值．

試題解析：（1）設(shè)F（x，y），（，），則OC=x，CF=y，∴，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為（）；

（2）該圓與y軸相離，理由為：過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，過點(diǎn)E作EG⊥y軸，垂足為G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，設(shè)OH=m，則tan∠AOB=，∴EH=，OE=2m，∴E坐標(biāo)為（m，），∵E在反比例圖象上，∴，∴，（舍去），∴OE=，EA=，EG=，∵，∴EA＜EG，∴以E為圓心，EA長為半徑的圓與y軸相離；

（3）存在．假設(shè)存在點(diǎn)F，使AE⊥FE，過E點(diǎn)作EH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)BF=x．∵△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，∴BC=FBcos∠FBC=，F(xiàn)C=FBsin∠FBC=，∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=，∵AE⊥FE，∴AE=AFcosA=，∴OE=OA﹣AE=，∴OH=OEcos∠AOB=，EH=OEsin∠AOB=，∴E（，），F(xiàn)（，），∵E、F都在雙曲線的圖象上，∴（）（）=（），解得：，，當(dāng)BF=4時，AF=0，不存在，舍去；當(dāng)BF=時，AF=，BF：AF=1：4．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．