Question

如圖，拋物線y=-x²+4ax-3經(jīng)過點M（2，1），交x軸于A、B，交y軸負半軸于C．平移CM交x軸于D，交對稱軸右邊的拋物線于P，使

DP

CM

=

1

2

，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：可先求得a的值，分別過M作MN⊥y軸，過點P作PQ⊥x軸，垂足分別為N、Q，由條件可證明△MNC∽△DQP，可求得PQ的長，代入拋物線可求得P點的坐標(biāo)．

解答：解：
如圖，分別過M作MN⊥y軸，過點P作PQ⊥x軸，垂足分別為N、Q，
∵拋物線y=-x²+4ax-3，且M點坐標(biāo)為（2，1），
∴1=-4+8a-3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3，
∴其對稱軸為x=2，
且MN=2，NC=NO+OC=1+3=4，
∵CM∥PD，MN∥x軸，
∴∠NMC=∠OEC=∠QDP，且∠MNC=∠DQP=90°，
∴△DQP∽△MNC，
∴

PQ

NC

=

PD

MC

=

1

2

，即

PQ

4

=

1

2

，解得PQ=2，
∴P點的縱坐標(biāo)為-2，
當(dāng)y=-2時，代入拋物線解析式可得-2=-x²+4x-3，解得x=2+

3

或x=2-

3

＜2（舍去），
∴P點坐標(biāo)為（2，2+

3

）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形的判定和性質(zhì)，由條件求得PQ的長是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．