Question

（本題滿分10分）如圖，在中，，，．點(diǎn)、都是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，．點(diǎn)、分別是點(diǎn)、以、為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，于，交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)的長(zhǎng)為，的面積為．

（1）求證：∽；

（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形?

Answer 1

（1）證明有兩組角對(duì)應(yīng)相等，過(guò)程略；（2）；

（3）或或或

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)對(duì)稱可得，再加上和，即可利用兩組角對(duì)應(yīng)相等得到兩個(gè)三角形相似；（2）要求的面積，需求得和，根據(jù)相似三角形的相似比，可得，而要求，需分類討論，臨界點(diǎn)為，所以分成和分別求解，最后寫成分段函數(shù)即可；（3）同（2），仍需要分成和分別討論，而在每一種情況下還需要對(duì)等腰三角形哪兩邊相等進(jìn)行分類討論.

試題解析：（1）、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱， ，

∽

（2）①如圖，當(dāng)時(shí)，，由相似得

此時(shí)

②如圖，當(dāng)時(shí)，，由相似得

此時(shí)

關(guān)于的函數(shù)解析式為.

（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ），顯然、不可能；

②如圖，當(dāng)時(shí)，

Ⅰ）若，由相似得，又， ；

Ⅱ）若，此時(shí)點(diǎn)、分別與、重合，；

Ⅲ）若，則∽，，，

綜上，當(dāng)或或或時(shí)，是等腰三角形.

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定及性質(zhì)；2.點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)；3. 分類討論.