【題目】概念學(xué)習(xí)
規(guī)定:如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角,那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”.
從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.
理解概念
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”.
概念應(yīng)用
(2)如圖2,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°.求證:CD為△ABC的等角分割線.
(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割線,直接寫出∠ACB的度數(shù).
【答案】(1)△ABC與△ACD,△ABC與△BCD,△ACD與△BCD是“等角三角形”;(2)見解析;(3)∠ACB的度數(shù)為111°或84°或106°或92°
【解析】
(1)根據(jù)題中給出的“等角三角形”的定義即可解答;
(2)通過三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB為80°,然后再由角平分線的定義可得到∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°,最后通過 “等角分割線”的定義進(jìn)行證明;
(3)需分情況討論,當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)DA=DC或DA=AC,當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)DB=BC或DC=BD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.
解:(1)△ABC與△ACD,△ABC與△BCD,△ACD與△BCD是“等角三角形”;
(2)∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=60°
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°
∵CD為角平分線,
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A,∠DCB=∠A,
∴CD=DA,
∵在△DBC中,∠DCB=40°,∠B=60°,
∴∠BDC=180°﹣∠DCB﹣∠B=80°,
∴∠BDC=∠ACB,
∵CD=DA,∠BDC=∠ACB,∠DCB=∠A,
∠B=∠B,
∴CD為△ABC的等角分割線;
(3)當(dāng)△ACD是等腰三角形,DA=DC時(shí),∠ACD=∠A=42°,
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°,
當(dāng)△ACD是等腰三角形,DA=AC時(shí),∠ACD=∠ADC=69°,
∠BCD=∠A=42°,
∴∠ACB=69°+42°=111°,
當(dāng)△BCD是等腰三角形,DC=BD時(shí),∠ACD=∠BCD=∠B=46°,
∴∠ACB=92°,
當(dāng)△BCD是等腰三角形,DB=BC時(shí),∠BDC=∠BCD,
設(shè)∠BDC=∠BCD=x,
則∠B=180°﹣2x,
則∠ACD=∠B=180°﹣2x,
由題意得,180°﹣2x+42°=x,
解得,x=74°,
∴∠ACD=180°﹣2x=32°,
∴∠ACB=106°,
∴∠ACB的度數(shù)為111°或84°或106°或92°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,∠ABK的角平分線BE的反向延長(zhǎng)線和∠DCK的角平分線CF的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,∠K﹣∠H=27°,則∠K=( )
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AM∥BN,∠A=60°.點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合),BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D.
(1)求∠CBD的度數(shù);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系,并說明理由;若變化,請(qǐng)寫出變化規(guī)律.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí),直接寫出∠ABC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級(jí)開展“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽活動(dòng),九(1)班、九(2)班根據(jù)初賽成績(jī)各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出5名選手的復(fù)賽成績(jī)(滿分100分)如圖所示.
根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解決下列問題:
(1)九(1)班復(fù)賽成績(jī)的眾數(shù)是 分,九(2)班復(fù)賽成績(jī)的中位數(shù)是 分;
(2)請(qǐng)你求出九(1)班和九(2)班復(fù)賽的平均成績(jī)和方差,并說明哪個(gè)班的成績(jī)更穩(wěn)定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行1500米比賽,在比賽時(shí),兩人所跑的路程y(米)與所用的時(shí)間x(分)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,解答下列問題:
(1)求甲的速度等于多少米/分;
(2)當(dāng)乙到終點(diǎn)時(shí),甲距離終點(diǎn)有多遠(yuǎn);
(3)乙在距終點(diǎn)多遠(yuǎn)處追上了甲.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,AC=BD,且AC⊥BD,如果梯形ABCD的中位線長(zhǎng)是5,那么這個(gè)梯形的高AH=___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)計(jì)算:(﹣2)﹣1﹣|﹣|+(﹣1)0+cos45°.
(2)已知m2﹣5m﹣14=0,求(m﹣1)(2m﹣1)﹣(m+1)2+1的值.
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【題目】如圖,已知A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左邊,表示的數(shù)為﹣10,點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊,且BO=3AO.點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M,點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)).
(1)數(shù)軸上點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是 ,點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離是 ;
(2)經(jīng)過幾秒,原點(diǎn)O是線段MN的中點(diǎn)?
(3)經(jīng)過幾秒,點(diǎn)M,N分別到點(diǎn)B的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為預(yù)防傳染病,某校定期對(duì)教室進(jìn)行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 與藥物在空氣中的持續(xù)時(shí)間成正比例;燃燒后,與成反比例(如圖所示).現(xiàn)測(cè)得藥物分鐘燃完,此時(shí)教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為.根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)分別求出藥物燃燒時(shí)及燃燒后 關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)每立方米空氣中的含藥量低于 時(shí),對(duì)人體方能無毒害作用,那么從消毒開始,在哪個(gè)時(shí)段消毒人員不能停留在教室里?
(3)當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量每立方米不低于 的持續(xù)時(shí)間超過分鐘,才能有效殺滅某種傳染病毒.試判斷此次消毒是否有效,并說明理由.
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