【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點(diǎn)F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點(diǎn)H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),連接OM,BM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)t為何值時(shí),∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+;(2).(3)﹣;(4)在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
【解析】
試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出GH,點(diǎn)F的坐標(biāo),用三角形的面積公式計(jì)算即可;(3)設(shè)出點(diǎn)M,用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo),從而求出MD,最后求出時(shí)間t;(4)由∠PBF被BA平分,確定出過點(diǎn)B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點(diǎn)即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),
∴
∴,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;
(2)如圖1,
過點(diǎn)A作AH∥y軸交BC于H,BE于G,
由(1)有,C(0,﹣2),
∵B(0,3),
∴直線BC解析式為y=x﹣2,
∵H(1,y)在直線BC上,
∴y=﹣,
∴H(1,﹣),
∵B(3,0),E(0,﹣1),
∴直線BE解析式為y=﹣x﹣1,
∴G(1,﹣),
∴GH=,
∵直線BE:y=﹣x﹣1與拋物線y=﹣x2+x﹣2相較于F,B,
∴F(,﹣),
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××(3﹣)
=.
(3)如圖2,
由(1)有y=﹣x2+x﹣2,
∵D為拋物線的頂點(diǎn),
∴D(2,),
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),
∴設(shè)M(2,m),(m>),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=AB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m=或m=﹣(舍),
∴M(0,),
∴MD=﹣,
∵一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度平沿行與y軸方向向上運(yùn)動(dòng),
∴t=﹣;
(4)存在點(diǎn)P,使∠PBF被BA平分,
如圖3,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點(diǎn)N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,
聯(lián)立①②得,或(舍),
∴P(,),
即:在x軸上方的拋物線上,存在點(diǎn)P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
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A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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