Question

【題目】折紙中的數(shù)學:打開本指書刊幅面的規(guī)格大小．如圖①，將一張矩形印刷用紙對折后可以得到2開紙，再對折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙……

若這張矩形印刷用紙的短邊長為a．

（1）如圖②，若將這張矩形印刷用紙ABCD（AB＞BC）進行折疊，使得BC與AB重合，點C落在點F處，得到折痕BE；展開后，再次折疊該紙，使點A落在E處，此時折痕恰好經(jīng)過點B，得到折痕BG，求的值．

（2）如圖③，②中的矩形紙片ABCD折成2開紙BCIH和4開紙AMNH，它們的對角線分別是HC、HM．說明HC⊥HM．

（3）將圖①中的2開紙、4開紙、8開紙和16開紙按如圖④所示的方式擺放，依次連接點A、B、M、I，則四邊形ABMI的面積是 .（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

(1)有折疊的性質(zhì)，第一次折疊可得BC＝CE＝a，BE＝a，二次折疊

AB＝BE＝a，可得的值；

（2）由矩形的性質(zhì)可得△MAH∽△HBC，可得結(jié)論.

(3) 由折疊的性質(zhì)可得答案.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°．

∵第一次折疊使點C落在AB上的F處，并使折痕經(jīng)過點B，

∴∠CBE＝∠FBE＝45°．

∴∠CBE＝∠CEB＝45°．

∴BC＝CE＝a，BE＝a．

∵第二次折疊紙片，使點A落在E處，得到折痕BG，

∴AB＝BE＝a．

∴＝

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)論，有AH＝BH＝a，AM＝a．

∴＝＝．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°．

∴△MAH∽△HBC．

∴∠AHM＝∠BCH．

∵∠BCH＋∠BHC＝90°．

∴∠AHM＋∠BHC＝90°．

∴∠MHC＝90°．

∴HC⊥HM．

（3）a2．