Question

2．問(wèn)題探究：
1．新知學(xué)習(xí)
若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．
2．解決問(wèn)題

已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2．
（1）如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說(shuō)明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長(zhǎng)；
（2）如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長(zhǎng)；
（3）如圖三，已知D為BC的中點(diǎn)，連接AD，M為AB上的一點(diǎn)（0＜AM＜1），E是DC上的一點(diǎn)，連接ME，ME與AD交于點(diǎn)O，且S_△MOA=S_△DOE．
①求證：ME是△ABC的面徑；
②連接AE，求證：MD∥AE；
（4）請(qǐng)你猜測(cè)等邊三角形ABC的面徑長(zhǎng)l的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明，利用直角三角形30°性質(zhì)，即可求出AD．
（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)面積比等于相似比的平方，即可解決問(wèn)題．
（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先證明MN=DF，推出四邊形MNFD是平行四邊形即可．
（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性質(zhì)證明ME≥$\sqrt{2}$即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴線段AD是△ABC的面徑．
∵∠B=60°，
∴sin60°=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{AD}{2}$，
∴AD=$\sqrt{3}$．
（2）如圖二中，

∵M(jìn)E∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，
∴△AME∽△ABC，$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{ME}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴ME=$\sqrt{2}$．
（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

①∵S_△MOA=S_△DOE，
∴S_△ABD=S_△BME，
∵BD=DC，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△EMB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴ME是△ABC的面徑；

②∵S_△MOA=S_△DOE，
∴S_△AEM=S_△AED，
∴$\frac{1}{2}$•AE•MN=$\frac{1}{2}$•AE•DF，
∴MN=DF，
∵M(jìn)N∥DF，
∴四邊形MNFD是平行四邊形，
∴DM∥AE．
（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BD}{BE}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{y}$，
∴xy=2，
在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，
∴BF=$\frac{1}{2}$x，MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴ME=$\sqrt{M{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}+（y-\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}$≥$\sqrt{2xy-xy}$，
∴ME≥$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)E是等邊三角形面徑，AD也是等邊三角形面積徑，易知AD=$\sqrt{3}$，
∴等邊三角形ABC的面徑長(zhǎng)l的取值范圍$\sqrt{2}$≤l≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，記住不等式的性質(zhì)x²+y²≥2xy，屬于中考?jí)狠S題．