Question

【題目】已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1 ， x2（用含m的代數(shù)式表示）；
①求方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 ， x2（用含m的代數(shù)式表示）；
②若mx1＜8﹣4x2 ， 直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m＞3）是關(guān)于x的一元二次方程，

∴△=[（﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2，

∵m＞3，

∴（m﹣3）2＞0，即△＞0，

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）①由求根公式得x= ，

∴x=1，或x= ，

∵m＞3，

∴ ＞3，

當(dāng)x1＜x2，

∴x1=1，x2=2﹣ ；

當(dāng)x1＞x2，

這種情況不存在；

∴x1=1，x2=2﹣ ；

②∵mx1＜8﹣4x2，

∴m＜8﹣4（2﹣ ），

解得：3＜m＜2 ．

【解析】（1）由于m＞3，此方程為關(guān)于x的一元二次方程，再計(jì)算出判別式△=（m﹣3）2 ， 然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）②由求根公式得到x=1，或x= ，即可得到結(jié)論；②根據(jù)mx1＜8﹣4x2 ， 即可得到 結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商．