Question

如圖，已知△ABC的中線BD、CE相交于點O、M、N分別為OB、OC的中點．
（1）求證：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM=2

2

，OD+CD=7，求△OCB的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）連接ED、MN，根據(jù)三角形中位線定理可得ED∥MN，ED=MN，進而得到四邊形DEMN是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得MD和NE互相平分；
（2）利用（1）中所求得出OC=2DN=4

2

，再利用勾股定理以及三角形面積公式求出S_△OCB=

1

2

OB×CD即可．

解答：（1）證明：連接ED、MN，
∵CE、BD是△ABC的中線，
∴E、D是AB、AC中點，
∴ED∥BC，ED=

1

2

BC，
∵M、N分別為OB、OC的中點，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四邊形DEMN是平行四邊形，
∴MD和NE互相平分；

（2）解：由（1）可得DN=EM=2

2

，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∵N是OC的中點，
∴OC=2DN=4

2

（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）
∵OD²+CD²=OC²=32，
（OD+CD）²=OD²+CD²+2OD×CD=7²=49，
2OD×CD=49-32=17，
OD×CD=8.5，
∵OB=2OM=2OD，
∴S_△OCB=

1

2

OB×CD=OD×CD=8.5．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和三角形面積求法等知識，得出OD×CD的值是解題關(guān)鍵．