Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，∠BAC=45°，原題設(shè)其他條件不變．求證：AB=BF+EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BE=CE；

（2）判斷出△ABF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF=BF，根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角邊”證明△AEF和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．

（1）∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD垂直平分BC，∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=BF．

∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°．

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF．

在△AEF和△BCF中，∵，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴EF=FC．

∵AC=AF+FC，AB=AC，∴AB=AF+FC=BF+EF．