Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的直角邊OA、OB分別在x軸、y軸正半軸上，OA=1，∠OBA=30°，將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB的對(duì)應(yīng)邊AD恰好落在x軸上，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，則k的值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作CH⊥x軸于H，如圖，先計(jì)算出∠BAO=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可計(jì)算出k的值．

解答 解：作CH⊥x軸于H，如圖，
在Rt△OAB中，∵∠OBA=30°，
∴∠BAO=60°，
∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB的對(duì)應(yīng)邊AD恰好落在x軸上，
∴∠DAC=∠BAO=60°，AC=AO=1，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．