Question

如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AH，tan∠AHO=2．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、H、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1，
∵M(jìn)H⊥x軸，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)M在直線y=2x+2上，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4．即M（1，4）．
∵點(diǎn)M在y=（x＞0）上，
∴k=1×4=4；

（2）設(shè)P（0，y），
∵A（0，2），H（1，0），M（1，4），
∴當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時(shí)，=，解得y=6，
∴P（0，6）；
當(dāng)AH為平行四邊形的對角線時(shí)，=，解得y=-2，
∴P（0，-2）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）或（0，-2）．
分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)，得OA的長度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長度，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)M在直線上可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．從而可求k的值；
（2）設(shè)P（0，y），分AM為平行四邊形的對角線或AH為平行四邊形的對角線兩種情況進(jìn)行分類討論．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．