Question

15．如圖，TQ切⊙O于點(diǎn)A，∠BAQ=60°，連接BO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C，與OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T，若TC=2，求TA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連接AC，根據(jù)TQ切⊙O于點(diǎn)A，得出，∠BAQ=∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理得出∠BAC=90°，根據(jù)正切函數(shù)得出$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，然后證得△ATC∽△BTA，得出$\frac{AT}{TC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，即可求得TA的長(zhǎng)．

解答 解：連接AC，
∵TQ切⊙O于點(diǎn)A，∠BAQ=60°，
∴∠ACB=60°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠TAC=∠B，∠ATC=∠BTA，
∴△ATC∽△BTA，
∴$\frac{AT}{TC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AT=$\sqrt{3}$TC=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形以及三角形相似的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．