【題目】(1)如圖1,已知ABC,以AB、AC為邊向ABC外作等邊ABD和等邊ACE,連接BE,CD,請你完成圖形,并證明:BE=CD;(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);

(2)如圖2,已知ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡單說明理由;

(3)運用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:

如圖3,要測量池塘兩岸相對的兩點B,E的距離,已經(jīng)測得ABC=45°,CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的長.

【答案】(1)

證明見解析;

(2)BE=CD,理由同(1);

(3)BE=CD=100米.

析】

試題分析:(1)分別以A、B為圓心,AB長為半徑畫弧,兩弧交于點D,連接AD,BD,同理連接AE,CE,如圖所示,由ABD與ACE都是等邊三角形,得到三對邊相等,兩個角相等,都為60度,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到CAD與EAB全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證;

(2)BE=CD,理由與(1)同理;

(3)根據(jù)(1)、(2)的經(jīng)驗,過A作等腰直角ABD,連接CD,由AB=AD=100,利用勾股定理求出BD的長,由題意得到DBC為直角三角形,利用勾股定理求出CD的長,即為BE的長.

試題解析:(1)完成圖形,如圖所示:

證明:∵△ABD和ACE都是等邊三角形,

AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60°,

∴∠BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB,

CAD和EAB中,

,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

BE=CD;

(2)BE=CD,理由同(1),

四邊形ABFD和ACGE均為正方形,

AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=90°,

∴∠CAD=EAB,

CAD和EAB中,

,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

BE=CD;

(3)由(1)、(2)的解題經(jīng)驗可知,過A作等腰直角ABD,BAD=90°,

則AD=AB=100米,ABD=45°,

BD=100米,

連接CD,BD,則由(2)可得BE=CD,

∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°,

在RtDBC中,BC=100米,BD=100米,

根據(jù)勾股定理得:CD==100米,

則BE=CD=100米.

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