Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=60°，AB+DC=BC．
（1）如圖1，連結AC、BD，求證：AC=BD；
（2）如圖2，∠BAD與∠ADC的平分線相交于E點，求∠E的度數(shù)；
（3）如圖3，若AB=6，CD=3，點P為BC上一點，且∠APD=60°，試判斷△APD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在CB上取CE=CD，連接DE，AE，根據(jù)全等三角形的判定和性質證明即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及四邊形的內角和解答即可；
（3）根據(jù)相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定解答即可．

解答 證明：（1）在CB上取CE=CD，連接DE，AE，如圖1：
，
∵AB+DC=BC，
∴AB=BE，
∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴△ABE與△CDE均為等邊三角形，
∴AE=BE，DE=CE，
∴∠AEB=∠CED=60°，
∴∠BED=∠AEC=120°，
在△BED與△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴AC=BD；
（2）在四邊形ABCD中，∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADC=240°，
∵AE，DE分別是∠BAD，∠ADC的平分線，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=120°，
∴∠E=60°；
（3）如圖2，

∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
∵∠ABP=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}=\frac{AP}{PD}$，
∵AB=6，CD=3，BC=9，
∴$\frac{6}{9-BP}=\frac{BP}{3}$，
∴BP（9-BP）=18，
解得：BP=3，或BP=6，
當BP=3時，$\frac{AP}{PD}=1$，即AP=PD，
∵∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形；
當BP=6時，PC=3，可得△ABP和△CDP均為等邊三角形，
∴AP=6，DP=3，即AP=2DP，取AP的中點E，連接DE，
可得：PE=PD，
∵∠APD=60°，
∴△EPD是等邊三角形，
∴ED=EP=EA，
∴D點在以AP為直徑的圓上，
∴△APD是直角三角形．

點評 此題主要考查了三角形的綜合問題，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定與性質分析，證明三角形全等是證明線段相等的重要手段．