Question

如圖，已知點C是以AB為直徑的半圓上的動點，AB=10；連結(jié)BC、AC，并延長AC至點D，使DC=AC，過D作DE⊥AB于E，ED交BC于點F．
（1）當∠ABC=27°時，弧AC的長為

 

；
（2）當DE=7時，線段EF的長為

 

．

Answer 1

考點：圓周角定理,弧長的計算

專題：

分析：（1）連接OC，由圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC=54°，由直徑AB=10，可得半徑OA=5，然后利用弧長公式即可求解；
（2）連接DB．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=BD=10，根據(jù)勾股定理和線段的和差關系可得BE和AE的長，通過AAS證明△BEF∽△DEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長．

解答：解：（1）連接OC，

由圓周角定理可得：∠AOC=2∠ABC=54°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴弧AC的長=

54π×5

180

=

3

2

π，
故答案為：

3

2

π；
（2）連接DB．

∵BC垂直平分AD，
∴AB=BD=10，
∵DE=7，DE⊥AB，
∴BE=

51

，
∴AE=10-

51

，
∵∠FBE+∠BFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EBF，
∵∠BEF=∠DEA=90°，
∴△BEF∽△DEA，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=

10 51 -51

7

．
故答案為：

10 51 -51

7

．

點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識點有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．