Question

如圖，過(guò)點(diǎn)B（4，0）的直線與直線y=x相交于一象限的點(diǎn)A，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，若∠OAB=90°；
①求直線AB和雙曲線的解析式；

②G為雙曲線上一點(diǎn)，若S_△OBG=2，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
③在第一象限內(nèi)，M是雙曲線上A點(diǎn)右側(cè)（不包括A點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn)，連OM交AB于點(diǎn)E，取OB中點(diǎn)C，作∠ECF=90°交AO于點(diǎn)F，當(dāng)M在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)

OF2+BE2

2EF2

的值是否變化？若不變化請(qǐng)求出它的值，寫(xiě)出求解過(guò)程；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要求直線AB和雙曲線的解析式，就必須知道點(diǎn)A的坐標(biāo)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵，利用點(diǎn)A在y=x上及∠OAB=90°在這個(gè)等腰直角三角形中可以求出點(diǎn)A的坐標(biāo)而解析式．
（2）要求雙曲線上的點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為a，則G（

4

a

，a），然后代入面積公式就可以求出a的值，從而求出G的坐標(biāo)．
（3）要確定

OF2+BE2

2EF2

的值是否變化，就聯(lián)想到把這三條線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理來(lái)確定這個(gè)式子的值，這就涉及到線段的轉(zhuǎn)化，考慮到利用三角形全等，而在等腰直角三角形中作底邊上的高或中線或頂角的角平分線這是常用的輔助線的作法，所以只要連接AC，問(wèn)題就可以得到解決了．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于E．
∵點(diǎn)A在y=x上，
∴∠AOB=45°，
∵∠OAB=90°，
∴∠OBA=45°，∠AOB=∠OBA，
∴OA=BA，
∴△OAB為等腰直角三角形．
∵AE⊥OB，
∴AE=OE=

1

2

OB=2，
∴A（2，2）．
設(shè)雙曲線的解析式為y=

k

x

，
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴2=

k

2

，
解得k=4．
∴雙曲線的解析式為：y=

4

x

．
設(shè)直線AB的解析式為y₁=k₁x+b，由題意，得

2=2k1+b 0=4k1+b

，
解得：

k1=-1 b=4

．
設(shè)直線AB的解析式為y₁=-x₁+4．

（2）設(shè)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為a，則G（

4

a

，a），
∴

4|a|

2

=2，
a=±1，
∴G（4，1）或G（-4，-1）；

（3）連接AC，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠4=∠5=45°，AC⊥OB，
∴∠ACB=∠3+∠2=90°OC=BC=AC，
∵∠ECF=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△CFA≌△CEB．
∴AF=BE．
同理可得△CFO≌△CEA．
得AE=OF．
在Rt△AFE中，由勾股定理得
AF²+AE²=EF²，
∴BE²+OF²=EF²
∴

OF2+BE2

2EF2

=

1

2

．

OF2+BE2

2EF2

是定值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、三角形全等、特殊圖形輔助線的運(yùn)用，學(xué)生在解答時(shí)要認(rèn)真審題．找到解決問(wèn)題的突破口．