Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點P是AB邊中點，∠MPN=90°，∠MPN繞點P旋轉．
（1）如圖1，在旋轉過程中，PM、PN分別與邊AC、CB相交于點D、E，求證：PD=PE；
（2）如圖2，在旋轉過程中，PM，PN分別與邊AC、CB的延長線相交于點D、E．PD=PE還成立嗎？請說明理由；
（3）在（1）中，若△PAD是等腰三角形，請直接寫出使△PAD是等腰是三角形時的CE長．

Answer 1

分析 （1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（2）PM，PN分別與邊AC、CB的延長線相交于點D、E．PD=PE還成立，連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（3）分三種情況探討：①AD=AP=$\sqrt{2}$；②DA=DP=1；③PA=PD=$\sqrt{2}$；得出答案即可．

解答 （1）證明：如圖1，

連接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中點，
∴∠A=∠B=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠B}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠EPB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（2）PD=PE還成立．
理由：如圖2，

連接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中點，
∴∠A=∠PBC=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
∴∠PCD=∠PBE，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠PBE}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠BPE}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（3）分三種情況討論如下：
①AD=AP=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$；
②DA=DP=1時，CE=1；
③PA=PD=$\sqrt{2}$時，點B與點E重合，即CE=2．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，掌握旋轉的性質，等腰三角形的性質與判定，全等三角的判定與性質是解決問題的關鍵，注意分類討論思想的滲透．