Question

16．已知邊長為4的正方形ABCD，點E、F分別在CA、AC的延長線上，且∠BED=∠BFD=45°，那么四邊形EBFD的面積是16+16$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接BD交AC于O，首先證明四邊形EBFD是菱形，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半即可解決問題．

解答 解：如圖連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠EAD=∠EAB=135°，
在△EAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EA}\\{∠EAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EAD，
∴∠AEB=∠AED=22.5°，EB=ED，
∴∠ADE=180°-∠EAD-∠AED=22.5°，
∴∠AED=∠ADE=22.5°，
∴AE=AD=4，
同理證明∠DFC=22.5°，F(xiàn)D=FB，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴ED=EB=FB=FD，
∴四邊形EBFD的面積=$\frac{1}{2}$•BD•EF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$（（4$\sqrt{2}$+8）=16+16$\sqrt{2}$．
故答案為16+16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)四邊形EBFD是菱形，記住菱形的面積等于對角線乘積的一半．屬于中考常考題型．