Question

5．如圖，將邊長為2的正六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直線l上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動．
（1）該正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是120°，每一個外角的度數(shù)為60°；
（2）求它的對角線A₁A₅、A₂A₄、A₁A₃的長；
（3）直接寫出點A₁從圖1滾動到圖2的位置時，頂點A₁所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）利用正六邊形的外角和等于360度，求出外角的度數(shù)即可解決問題．
（2）作A₂M⊥A₁A₃于M，由正六邊形和等腰三角形的性質(zhì)A₁M=A₃M，∠1=30°，A₂M=$\frac{1}{2}$A₁A₂=1，由勾股定理得出A₁M，即可得出結(jié)果；
（3）由（2）得出A₆C=$\frac{1}{2}$A₁A₆=1，A₁C=$\sqrt{3}$，A₁A₅=A₁A₃=2$\sqrt{3}$，當(dāng)A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以2，2$\sqrt{3}$，4，2$\sqrt{3}$，2為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵正六邊形的外角和為360度，
∴每個外角的度數(shù)為360°÷6=60°，
∵正六邊形的每個外角與內(nèi)角互補，
∴每個內(nèi)角為180°-60°=120°．
故答案為：120°，60°；
（2）作A₂M⊥A₁A₃于M，如圖1所示：
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：對角線A₁A₅=A₂A₄=A₁A₃，A₁A₂=A₃A₂，∠A₁A₂A₃=120°，
∴A₁M=A₃M，∠1=30°，
∴A₂M=$\frac{1}{2}$A₁A₂=1，
由勾股定理得：A₁M=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₅=A₂A₄=A₁A₃=2$\sqrt{3}$；
（3）連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖2所示，
由（2）得：A₆C=$\frac{1}{2}$A₁ A₆=1，A₁C=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₅=A₁A₃=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經(jīng)過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以2，2$\sqrt{3}$，4，2$\sqrt{3}$，2為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點A₁所經(jīng)過的路徑的長=$\frac{60π×2}{180}$+$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×4}{180}$+$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×2}{180}$
=$\frac{60π（2+2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2）}{180}$=$\frac{8+4\sqrt{3}}{3}$π，

點評 本題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和定理、弧長公式、正六邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．