Question

13、正整數(shù)n滿足以下條件：任意n個(gè)大于1且不超過2009的兩兩互素的正整數(shù)中，至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n．

Answer 1

分析：根據(jù)2²，3²，5²，7²，11²，13²，17²，19²，23²，29²，31²，37²，41²，43²這14個(gè)合數(shù)都小于2009且兩兩互質(zhì)，得到n≥15，再根據(jù)n=15時(shí)得到合數(shù)a₁₅的最小素因子p₁₅≥p₁₅²≥47＞2009，推出矛盾，從而推出n最小是15．

解答：解：由于2²，3²，5²，7²，11²，13²，17²，19²，23²，29²，31²，37²，41²，43²這14個(gè)合數(shù)都小于2009且兩兩互質(zhì)，
因此n≥15．
而n=15時(shí)，我們?nèi)?5個(gè)不超過2009的互質(zhì)合數(shù)a₁，a₂，…，a₁₅的最小素因子p₁，p₂，，p₁₅，
則必有一個(gè)素?cái)?shù)≥47，不失一般性設(shè)p₁₅≥47，
由于p₁₅是合數(shù)a₁₅的最小素因子，
因此a₁₅≥p₁₅²≥47＞2009，矛盾．
因此，任意15個(gè)大于1且不超過的互質(zhì)正整數(shù)中至少有一個(gè)素?cái)?shù)．
綜上所述，n最小是15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了質(zhì)數(shù)、合數(shù)的定義以及互質(zhì)的定義，并會(huì)利用反正法解答．