Question

17．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點（A、B兩點除外），將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點．

（1）如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC；
（2）如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交于點M．
①當點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數；
②設D為邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長．

Answer 1

分析 （1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題．
（2）①先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題．
②利用①的結論可知，點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋轉逆時針α得到，α=90°，
∴CB與CE重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC．
（2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠DCF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四點共圓，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°-∠CMF=135°．
（補充：不用四點共圓的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM=∠OAD，即可證明∠CMF=∠CDM+∠DCM=∠CAO+∠OAD=∠CAD=45°）

②如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM．
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四點共圓，
∴當α從90°變化到180°時，
點M在以AC為直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，
∵OA=OC，CD=DA，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴$\widehat{CD}$的長=$\frac{90π•1}{180}$=$\frac{π}{2}$．
∴當α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長為$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質、平行線的判定和性質、弧長公式、四點共圓等知識，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點共圓，最后一個問題的關鍵，正確探究出點M的運動路徑，記住弧長公式，屬于中考壓軸題．