Question

當m為何值時，方程x²-（m+1）x+m=0的兩根分別滿足：
（1）都是正根；
（2）兩根異號，且負根的絕對值大；
（3）兩根都大于-1；
（4）兩根一個大于-1，另一個小于-1．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出關(guān)于m的不等式組：

m+1＞0 m＞0

，進而求出即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出關(guān)于m的不等式組

m-1≠0 m+1＞0 m＞0

，進而求出即可；
（3）構(gòu)建函數(shù)f（x）=x²-（m+1）x+m，結(jié)合二次函數(shù)圖象，△≥0，對稱軸大于-1，f （-1）＞0，解得m的范圍即可．
（4）構(gòu)建函數(shù)f（x）=x²-（m+1）x+m，利用方程x²-（m+1）x+m=0一個根大于-1，一個根小于-1，可得f（-1）＜0，從而可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，
（1）設(shè)方程x²-（m+1）x+m=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：

m+1＞0 m＞0

，
解得m＞0；
（2）設(shè)方程x²-（m+1）x+m=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：

m-1≠0 m+1＜0 m＜0

，
解得m＜-1；
（3）設(shè)方程x²-（m+1）x+m=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：

m+1 2 ＞+1 2m+2＞0

，
解得m＞-1；
（4）設(shè)方程x²-（m+1）x+m=0有兩根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：

m-1≠0 2m+2＜0

，
解得m＜-1．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式等知識，其中由韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）結(jié)合已知，構(gòu)造出關(guān)于m的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．