Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M經過原點O，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且A，B兩點也是⊙M與該直線的交點．
（1）求出A，B的坐標；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上且拋物線經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）在（2）的條件下，判斷是否存在x軸上的點P，使以P，O，B為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點坐標，令y=0，可求出A點坐標；
（2）根據A、B的坐標易得到M點坐標，若拋物線的頂點C在⊙M上，那么C點必為拋物線對稱軸與⊙O的交點；根據A、B的坐標可求出AB的長，進而可得到⊙M的半徑及C點的坐標，再用待定系數法求解即可；
（3）在（2）中已經求得了C點坐標，即可得到AC、BC的長；由圓周角定理知∠ACB=90°，所以此題可根據兩直角三角形的對應直角邊的不同來求出不同的P點坐標．
解答：解：（1）直線中，y=0，則x=8；x=0，則y=-6；
∴A（8，0），B（0，-6）；

（2）由于AB是⊙M的直徑，則有：M（4，-3）；
Rt△OAB中，OA=8，OB=6，由勾股定理得：AB=10；
∴C點坐標為（4，2）或（4，-8）；
當C點坐標為（4，2）時，設拋物線的解析式為y=a（x-4）²+2（a≠0），則有：
a×16+2=-6，解得a=-；
當C點坐標為（4，-8）時，設拋物線的解析式為y=a′（x-4）²-8（a′≠0），則有：
a′×16-8=-6，解得a′=；
∴拋物線的解析式為：y=-（x-4）²+2或y=（x-4）²-8；
即y=-x²+4x-6或y=x²-x-6；

（3）假設存在符合條件的P點；
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠POB=90°；
需要分兩種情況：
①當C點坐標為C（4，2）時，AC=2，BC=4；
若以P，O，B為頂點的三角形與△ABC相似，則有：△POB∽△ACB或△POB∽△BCA；
得：或；
∵OB=6，∴OP=3或12，即P（3，0）或（12，0）；
②當C點坐標為C′（4，-8）時，由于CC′、AB同為⊙M的直徑，所以四邊形AC′BC是矩形，則△ACB與△AC′B全等，所以此種情況同①；
因此存在符合條件的P點，且P點坐標為：（3，0）或（12，0）．
點評：此題主要考查了函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力，需注意的是當兩個相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況下需要分類討論，以免漏解．