Question

【題目】如圖Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AB=4，AD=3.如圖Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿矩形ABCD的邊BC經(jīng)過點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）在圖Ⅰ中，點(diǎn)C的坐標(biāo)(____),在圖Ⅱ中，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)(______),Q坐標(biāo)(______)

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC或線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△ACQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍;

（3）點(diǎn)Q在線段BC或線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，當(dāng)△QMO與△ACD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值.

Answer 1

【答案】(1)C(4,-3)； A()， Q()；

（2）①當(dāng)Q在BC上，即0≤t≤3時(shí)，S=6-2t，②當(dāng)Q在CD上，即3<t≤7時(shí)，S=；

（3）當(dāng)t=3時(shí)，△QMO與△ACD相似.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)AB=4，AD=3，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，過A作AE⊥x軸于E，根據(jù)△AOE∽△CAB，可得AE：OE：AO=3：4：5，再根據(jù)當(dāng)t=2時(shí)，OA=2，OE=，AE=，BQ=2，可得點(diǎn)A和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，分別根據(jù)△ACQ的面積計(jì)算方法，求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)點(diǎn)Q的位置寫出t的取值范圍；（3）先過A作AE⊥x軸于E，根據(jù)△AOE∽△CAB，得出AE：OE：AO=3：4：5，再根據(jù)OA=t，得出OE=t，AE=t，再分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，連接OQ，②當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，連接OQ，分別根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于t的比例式，求得t的值并檢驗(yàn)即可．

試題解析： (1)如圖所示，

∵AB=4，AD=3，

∴A(4,3)，AC=5，

過A作AE⊥x軸于E,則△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5，

當(dāng)t=2時(shí),OA=2,OE=85,AE=65，BQ=2，

∴A(,)，

∵OE+AB=,AE+BQ=，

∴Q(,)，

故答案為：(4，3)，(,)，(， )；

(2)①當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí),連接AQ,

∵BQ=t，BC=3，

∴CQ=3t，

∴△ACQ的面積=×CQ×AB，即S=×(3t)×4=2t+6(0t<3)；

②當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，連接AQ，

∵QC+BC=t，BC=3，

∴CQ=t3，

∴△ACQ的面積=×CQ×AD,即S=×(t3)×3=t (3t7)；

∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=；

(3)如圖所示,過A作AE⊥x軸于E,則△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5,

∵OA=t，

∴OE=t,AE=t，

①當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，連接OQ，

∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t，

∴當(dāng)時(shí),△OMQ∽△CDA，

此時(shí)，解得t=3；

當(dāng)時(shí)，△OMQ∽△ADC，

此時(shí)， ，解得t=10>3,(舍去)；

②當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，連接OQ，而DQ=3+4t=7t=EM，

∴OM=t+7t=7t，

∴當(dāng)時(shí),△OMQ∽△CDA，

此時(shí)， ，解得t=3；

當(dāng)時(shí),△OMQ∽△ADC，

此時(shí)， 解得t=>7，(舍去)

綜上所述，當(dāng)△QMO與△ACD相似時(shí)，t的值為3秒。