Question

數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．
例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數(shù)．
對(duì)于這個(gè)求和問(wèn)題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問(wèn)題雖然可以解決，但在求和過(guò)程中，需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論．
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來(lái)求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的．而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形．此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n+1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為，即1+2+3+4+…+n=．
（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫(huà)出圖形，并利用圖形做必要的推理說(shuō)明）
（2）試設(shè)計(jì)另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫(huà)出圖形，并利用圖形做必要的推理說(shuō)明）

Answer 1

解：（1）

因?yàn)榻M成此平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]個(gè)，即2n個(gè)，
所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個(gè)，即2n²個(gè)．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）==n²．

（2）

因?yàn)榻M成此正方形的小圓圈共有n行，每行有n個(gè)，所以共有（n×n）個(gè)，即n²個(gè)．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．
分析：根據(jù)例題所示選擇合適的圖形來(lái)解決問(wèn)題，對(duì)于題目中所給的奇數(shù)相加的公式，我們不難發(fā)現(xiàn)它的遞增也是有規(guī)律的，所以我們?nèi)钥梢詤⒄绽�子作出相�?yīng)的圖形利用平行四邊形法求解；另外我們可以發(fā)現(xiàn)公式的增值是2，我們可以看做是在原點(diǎn)的基礎(chǔ)上伸出兩個(gè)端點(diǎn)依次加2，然后這n個(gè)圖形相組合，可以得到多個(gè)答案，選擇你認(rèn)為最為簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行解答．
點(diǎn)評(píng)：把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．