Question

如圖，四邊形OABC是一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)點(diǎn)N且平行于y軸的直線(xiàn)MN與BD交于點(diǎn)M．現(xiàn)將紙片沿過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使頂點(diǎn)C落在線(xiàn)段MN上的點(diǎn)F處，折痕與y軸的交點(diǎn)記為E．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和∠FDM的大�。�
（2）求直線(xiàn)DE的解析式；
（3）點(diǎn)P在直線(xiàn)DE上，且△PEF為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理求得MF的長(zhǎng)，即可求得F的坐標(biāo)，解直角三角形DMF，根據(jù)sin∠FDM=

DM

DF

=

3

2

，即可求得∠FDM的大小；
（2）解直角三角形CDE，求得CE的長(zhǎng)，即可求得E的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)DE的解析式；
（3）分三種情況討論求得．

解答：解：（1）∵D為BC中點(diǎn)，
∴CD=2，
∴D（2，4），DM=1，
在RT△DMF中，DM=1，DF=CD=2，
∴MF=

DF2-DM2

=

3

，
∴FN=4-

3

，
∴F（3，4-

3

），
∵sin∠FDM=

DM

DF

=

3

2

，
∴∠FDM=60°．

（2）∵∠FDM=60°，
∴∠CDE=60°，
∴tan∠CDE=tan60°=

CE

CD

，
∴CE=

3

×2=2

3

，
∴OE=4-2

3

，
∴E（0，4-2

3

），
設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為：y=kx+b，
∴

4=2k+b 4-2 3 =b

，
解得：

k= 3 b=4-2 3

．
∴直線(xiàn)DE的解析式為：y=

3

x+4-2

3

；

（3）∵E（0，4-2

3

），F(xiàn)（3，4-

3

），
∴EF=

32+(4- 3 -4+2 3 )2

=2

3

，
設(shè)P（m，

3

m+4-2

3

），
當(dāng)PE=EF時(shí)，則PE²=m²+（

3

m+4-2

3

-4+2

3

）²=4m²，
∵4m²=（2

3

）²，
解得：m=

3

，或m=-

3

，
當(dāng)PE=PF時(shí)，∵PE²=4m²，PF²=（m-3）²+（

3

m+4-2

3

-4+

3

）²=4m²-12m+12，
∴4m²-12m+12=4m²，解得：m=1，
當(dāng)PF=EF時(shí)，則4m²-12m+12=（2

3

）²，
解得：m=3，或m=0（舍去），
所以P的坐標(biāo)為（

3

，7-2

3

）或（-

3

，1-2

3

）或（1，4-

3

）或（3，4+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求解析式，應(yīng)用直角三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等，（3）分三種情況討論是本題的關(guān)鍵．