Question

【題目】如圖，正方形面積為，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，以為邊在正方形另一側(cè)作菱形，其中，依次延長(zhǎng)類似以上操作再作三個(gè)形狀大小都相同的菱形，形成風(fēng)車狀圖形，依次連結(jié)點(diǎn)則四邊形的面積為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P，過(guò)N作NK⊥CD于點(diǎn)K，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q，交NS于點(diǎn)R，首先利用正方形性質(zhì)結(jié)合題意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后進(jìn)一步根據(jù)菱形性質(zhì)得出DE=EF=DG=2，再后通過(guò)證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=，進(jìn)一步可得，再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)Z，利用全等三角形性質(zhì)與判定證明四邊形FHMN為正方形，最后進(jìn)一步求解即可.

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P，過(guò)N作NK⊥CD于點(diǎn)K，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q，交NS于點(diǎn)R，

∵ABCD為正方形，

∴∠CDG=∠GDK=90°，

∵正方形ABCD面積為1，

∴AD=CD=AG=DQ=1，

∴DG=CT=2，

∵四邊形DEFG為菱形，

∴DE=EF=DG=2，

同理可得：CT=TN=2，

∵∠EFG=45°，

∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，

∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，

∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，

∴DQ=EQ=TK=NK=，FQ=FE+EQ=，

∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，

∴四邊形NKQR是矩形，

∴QR=NK=，

∴FR=FQ+QR=，NR=KQ=DKDQ=，

∴，

再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)Z，易證得：△NMZ△FNR(SAS)，

∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，

∵∠NFR+∠FNR=90°，

∴∠MNZ+∠FNR=90°，

即∠FNM=90°，

同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，

∴四邊形FHMN為正方形，

∴正方形FHMN的面積=，

故答案為：.