【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個動點(diǎn)(不與A、D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足點(diǎn)為E,連接AE.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取到最大值時,過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′,求出P′的坐標(biāo),并判斷P′是否在該拋物線上.

【答案】(1) y=-x2-2x+3;(-1,4);(2)S=-x2-3x(-3<x<-1),S最大值(3)P′(,).點(diǎn)P′不在該拋物線上.

【解析】

試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),則代入求得a,b,c,進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D.

(2)由P在AD上,則可求AD解析式表示P點(diǎn).由S△APE=PEyP,所以S可表示,進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值.

(3)由最值時,P為(-,3),則E與C重合.畫示意圖,P'過作P'M⊥y軸,設(shè)邊長通過解直角三角形可求各邊長度,進(jìn)而得P'坐標(biāo).判斷P′是否在該拋物線上,將xP'坐標(biāo)代入解析式,判斷是否為yP'即可.

試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三點(diǎn),

解得,

∴解析式為y=-x2-2x+3

∵-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為(-1,4).

(2)∵A(-3,0),D(-1,4),

∴設(shè)AD為解析式為y=kx+b,有,

解得,

∴AD解析式:y=2x+6,

∵P在AD上,

∴P(x,2x+6),

∴S△APE=PEyP=(-x)(2x+6)=-x2-3x(-3<x<-1),當(dāng)x=-時,S取最大值

(3)如圖1,設(shè)P′F與y軸交于點(diǎn)N,過P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M,

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF,且P(-,3),

∴∠PFE=∠P′FE,PF=P′F=3,PE=P′E=,

∵PF∥y軸,

∴∠PFE=∠FEN,

∵∠PFE=∠P′FE,

∴∠FEN=∠P′FE,

∴EN=FN,

設(shè)EN=m,則FN=m,P′N=3-m.

在Rt△P′EN中,

∵(3-m)2+(2=m2

∴m=

∵S△P′EN=P′NP′E=ENP′M,

∴P′M=

在Rt△EMP′中,

∵EM=,

∴OM=EO-EM=,

∴P′(,).

當(dāng)x=時,y=-(2-2+3=,

∴點(diǎn)P′不在該拋物線上.

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