Question

【題目】已知，如圖，△ABC的三條邊BC＝，CA＝，AB＝，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，DA＝，DB＝，DC＝．

（1）若∠CDB＝18°，則∠BCD＝　　　　　　°；

（2）將△ACD繞點(diǎn)Ａ順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°到，畫(huà)出，若∠CAD＝20°，求度數(shù)；

（3）試畫(huà)出符合下列條件的正三角形：M為正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，M到正三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，且正三角形的邊長(zhǎng)為＋＋，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）42；

（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析， 度數(shù)是70°；

（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析

【解析】（本小題滿(mǎn)分１４分）

解：（１）４２；……………………………………………………………………１分

（２）畫(huà)圖如下（如圖５）．………………………………………………………３分

∵∠ＤＡ＝９０°，∠ＣＡＤ＝２０°，

∴∠ＣＡ＝∠ＤＡ－∠ＣＡＤ＝９０°－２０°＝７０°；…………５分

（３）畫(huà)圖如下：將△ＢＤＣ繞點(diǎn)Ｂ按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)６０°…………………２分

到△ＢＥＦ的位置（如圖６）．

連結(jié)ＤＥ，ＣＦ，這樣可知△ＢＤＥ和△ＢＣＦ均為等邊三角形，

從而ＤＥ＝，ＣＦ＝．

∵∠ＡＤＢ＝１２０°，∠ＢＤＥ＝６０°，即∠ＡＤＥ＝１８０°，

則Ａ、Ｄ、Ｅ三點(diǎn)共線(xiàn)（即該三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上）．……………………………３分

同理，∵∠ＢＥＦ＝∠ＢＤＣ＝１２０°，∠ＢＥＤ＝６０°，

即∠ＤＥＦ＝１８０°，則Ｄ、Ｅ、Ｆ三點(diǎn)共線(xiàn)，

∴Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｆ四點(diǎn)均在一條直線(xiàn)上．…………………………………………４分

∵ＥＦ＝ＤＣ＝，∴線(xiàn)段ＡＦ＝＋＋．

以線(xiàn)段ＡＦ為邊在點(diǎn)Ｂ一側(cè)作等邊△ＡＦＧ（圖６），……………………………５分

則△ＡＦＧ即為符合條件的等邊三角形，其中的點(diǎn)Ｂ即為點(diǎn)Ｍ．…………………６分

正三角形的邊長(zhǎng)為＋＋已證，ＢＡ＝，ＢＦ＝ＢＣ＝，

下面再證ＢＧ＝．

∵∠ＣＦＢ＝∠ＡＦＧ＝６０°，

即∠１＋∠ＥＦＢ＝∠２＋∠ＥＦＢ＝６０°，∴∠１＝∠２．

在△ＡＦＣ和△ＧＦＢ中，∵ＦＡ＝ＦＧ，∠１＝∠２，ＦＣ＝ＦＢ，

∴△ＡＦＣ≌△ＧＦＢ（ＳＡＳ），

∴ＡＣ＝ＧＢ，即ＢＧ＝ＣＡ＝．

從而點(diǎn)Ｂ（Ｍ）到等邊△ＡＦＧ三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，

且其邊長(zhǎng)為＋＋．………………………………………………………………８分

［注：把△ＡＤＢ繞點(diǎn)Ａ按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)６０°，

把△ＣＤＡ繞點(diǎn)Ｃ按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)６０°，

把△ＡＤＣ繞點(diǎn)Ａ按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)６０°，

把△ＢＣＤ繞點(diǎn)Ｃ按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)６０°等

均可證得，方法類(lèi)似］