【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線、為常數(shù))的頂點(diǎn)為,等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為,直角頂點(diǎn)在第四象限.

1)如圖,若該拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng),且與交于另一點(diǎn)

①若點(diǎn)在直線下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

②取的中點(diǎn),連接,求的最大值.

【答案】1;(2)①,;②的最大值為

【解析】

1)先求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2首先求出直線的解析式和線段的長(zhǎng)度,作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ).

為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:

當(dāng)為直角邊時(shí):點(diǎn)的距離為.此時(shí),將直線向右平移4個(gè)單位后所得直線與拋物線的交點(diǎn),即為所求之點(diǎn);

當(dāng)為斜邊時(shí):點(diǎn)的距離為.此時(shí),將直線向右平移2個(gè)單位后所得直線與拋物線的交點(diǎn),即為所求之點(diǎn).

②由①可知,為定值,因此當(dāng)取最小值時(shí),有最大值.

如答圖2所示,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),由分析可知,當(dāng)中點(diǎn))三點(diǎn)共線時(shí),最小,最小值為線段的長(zhǎng)度.

解:(1等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為

點(diǎn)的坐標(biāo)為

拋物線過,兩點(diǎn),

解得:,

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:

2)①,,,

直線的解析式為:

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為,則由(1)可得的坐標(biāo)為,且在直線上.

點(diǎn)在直線上滑動(dòng),

可設(shè)的坐標(biāo)為,

則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:

解方程組:

解得,

過點(diǎn)軸,過點(diǎn)軸,則

,

若以、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:

當(dāng)為直角邊時(shí):點(diǎn)的距離為(即為的長(zhǎng)).

,可知,

為等腰直角三角形,且,

如圖1,過點(diǎn)作直線,交拋物線于點(diǎn),則為符合條件的點(diǎn).

可設(shè)直線的解析式為:,

,

解得,

直線的解析式為:

解方程組

得:,

,

當(dāng)為斜邊時(shí):,可求得點(diǎn)的距離為

如答圖2,取的中點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為

,可知:

為等腰直角三角形,且點(diǎn)到直線的距離為

過點(diǎn)作直線,交拋物線于點(diǎn),則為符合條件的點(diǎn).

可設(shè)直線的解析式為:,

,

解得,

直線的解析式為:

解方程組

得:,

,,,

綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為:

,,,,

存在最大值.理由如下:

由①知為定值,則當(dāng)取最小值時(shí),有最大值.

如答圖2,取點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),易得點(diǎn)的坐標(biāo)為,

連接,,

易得,且,

四邊形為平行四邊形.

當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí),最小,最小值為

的最大值為

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(單位:)

84

76

78

82

70

84

86

80

他們又調(diào)查了各點(diǎn)的垃圾量,并繪制了下列間不完整的統(tǒng)計(jì)圖2

1)表中的中位數(shù)是 、眾數(shù)是 ;

(2)求表中長(zhǎng)度的平均數(shù);

(3)求處的垃圾量,并將圖2補(bǔ)充完整;

(4)用(2)中的作為的長(zhǎng)度,要將處的垃圾沿道路都運(yùn)到處,已知運(yùn)送1千克垃圾每米的費(fèi)用為0.005元,求運(yùn)垃圾所需的費(fèi)用.

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