Question

【題目】如圖，直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，直線AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，拋物線恰好過點(diǎn)A、B、C.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上方的曲線上移動(dòng)時(shí)，求四邊形AOBM的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）由直線解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由AC⊥AB，可證明ΔAOC∽ΔBOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出OC的長，即可得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式；（2）過M點(diǎn)作MN⊥x軸，交直線AB于D點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，可得出M點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出MD的長，可得△ABM的面積，根據(jù)S四邊形AOBM=S△AOB+S△ABM可得關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形AOBM面積的最大值；

（1）∵直線交坐標(biāo)軸A、B兩點(diǎn)，

∴A（0，2）、B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∵AC⊥AB，OA⊥BC，

∴∠AOB=∠AOC=90°，∠OAC+∠OAB=90°，∠OAC+∠OCA=90°，

∴∠OCA=∠OAB，

∴ΔAOC∽ΔBOA

∴，

解得：OC=1

∴C（-1，0）

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，得，

解得，

∴拋物線的表達(dá)式為：

（2）過M點(diǎn)作MN⊥x軸，交直線AB于D點(diǎn)

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則M（a，）、D（a，）

∴

∴

∴

當(dāng)a=2時(shí)，的值最大，則